Álgebra Moderna I: Una modificación al Teorema de Cayley - [Detalles]
Ya observamos la importancia del Teorema de Cayley, ya que nos permite visualizar a un grupo G como un subgrupo del grupo de permutaciones. En esta entrada relacionaremos al grupo G con un grupo simétrico mas pequeño que Sn . Utilizaremos los elementos de G no para mover sus propios elementos, si no, para mover clases laterales.
Definimos que es una permutación, y hablamos de sus usos y características. También damos una fórmula de conteo para saber cuántas permutaciones tenemos en un conjunto de n elementos, ya sea permutaciones con o sin repeticiones.
Permutaciones disjuntas - [Detalles]
Definimos el concepto de permutaciones disjuntas. Luego enunciamos el resultado que dice que permutaciones disjuntas conmutan y decimos la estrategia para demostrarlo.
Álgebra Moderna I: Permutaciones disjuntas - [Detalles]
A continuación se discute el concepto de ciclos disjuntos y la propiedad de conmutatividad en las permutaciones disjuntas. Así mismo, las permutaciones pueden ser vistas como un producto de ciclos disjuntos.
Álgebra Moderna I: Teorema de Cayley - [Detalles]
A partir de esta unidad veremos como cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. El objetivo principal es converger en el Teorema de Cayley
Definición del grupo fundamental - [Detalles]
En este video definimos el grupo fundamental (como conjunto solamente) de un espacio X basado en un punto x_0. En el siguiente video se verá que el grupo fundamental es un grupo con la operación de concatenación de caminos.
El grupo fundamental es, en efecto, un grupo - [Detalles]
En este video demostramos que el grupo fundamental es un grupo con la operación dada por concatenar lazos.
Homología singular - grupo fundamental vs primer grupo de homología: parte 1 - [Detalles]
En este video demostramos algunos lemas preliminares que usaremos para demostrar que el abelianizado del grupo fundamental de X es isomorfo al primer grupo de homología de X, siempre que X sea arco-conexo.
Homología singular - grupo fundamental vs primer grupo de homología - parte 2 - [Detalles]
En este video demostramos que la función del grupo fundamental de X al primer grupo de homología de X está bien definida y es un homomorfismo. Además demostramos que si X es arco-conexo entonces dicho homomorfismo en suprayectivo. Calcularemos el kernel en el siguiente video.
Consecuencias del teorema de Cauchy - [Detalles]
Se muestran algunas aplicaciones y consecuencias del teorema de Cauchy: ser p-grupo es equivalente a tener orden una potencia de p, todo p-grupo no trivial tiene centro no trivial, todo grupo de orden el cuadrado de un primo es abeliano, los subgrupos maximales de un p-grupo son normales y de índice p.
Álgebra Moderna I: Subgrupo Conmutador - [Detalles]
En esta entrada, el propósito es inicialmente establecer la noción de conmutador entre dos elementos del grupo G. Posteriormente, se pretende definir el conjunto generado por todos los conmutadores en el grupo. Estos pasos se dan con el fin de crear un grupo cociente abeliano, a pesar de que el grupo original G no lo sea.
Álgebra Moderna I: Permutaciones y Grupo Simétrico - [Detalles]
En primera instancia tenemos que definir lo que es una permutación de un conjunto X. Posteriormente podremos construir el concepto de Grupo Simétrico y la definición de un r-ciclo.
Principios de conteo 2 - Permutaciones - [Detalles]
Desarrollamos el concepto de permutación, y utilizamos los principios de conteo de la entrada anterior para encontrar el número de permutaciones de un conjunto de objetos.
Conjunto de permutaciones de n elementos - [Detalles]
Se estudia el conjunto de permutaciones de n elementos.
Grupos simétricos (1) - [Detalles]
Se presentan más propiedades de los grupos simétricos, se estudian permutaciones con la misma estructura cíclica y se concluye que las permutaciones conjugadas son precisamente aquellas que tienen la misma estructura cíclica.
Álgebra Moderna I: Misma Estructura Cíclica, Permutación Conjugada y Polinomio de Vandermonde. - [Detalles]
En este texto, se explora la unicidad de la factorización completa de las permutaciones y se analizan los ciclos que aparecen en esta factorización. La cantidad y longitud de los ciclos permanecen constantes independientemente de la factorización elegida. Esto conduce a las definiciones clave de estructura cíclica y permutación conjugada. Además, se menciona que las permutaciones pueden descomponerse en intercambios de elementos de dos en dos, lo que revela que toda permutación se puede expresar como un producto de una cantidad par o impar de intercambios.
Examen: Permutaciones - [Detalles]
Examen de la unidad de permutaciones.
Lista de problemas: Permutaciones - [Detalles]
Problemas para trabajar los conceptos vistos en la unidad de permutaciones. Incluye sugerencias.
El grupo fundamental del círculo - parte 2 - [Detalles]
En este video terminamos el estudio del grupo fundamental del círculo. Concretamente, demostramos que el grupo fundamental del círculo es cíclico infinito.
El grupo fundamental de un producto - [Detalles]
En este video demostramos que el grupo fundamental de un producto de espacios topológicos es el producto de los grupos fundamentales de los factores, es decir, el grupo fundamental abre productos.
El grupo fundamental de la n-esfera - [Detalles]
En este video demostramos que el grupo fundamental de las esferas de dimensión al menos 2 es trivial. Este cálculo nos sigue dando herramientas para desarrollar intuición acerca del grupo fundamental.
Todo grupo es el grupo fundamental de algún espacio - [Detalles]
En este video demostraremos que todo grupos es el grupo fundamental de algún espacio. Las herramientas principales para demostrar este teorema es la existencia de una presentación y una aplicación muy directa del teorema de van Kampen.
El número de hojas de un cubriente y su grupo fundamental - [Detalles]
En este video demostramos que el número de hojas de un cubriente (con espacio base y espacio cubriente arco-conexos) está en correspondencia con el número de clases laterales de la imagen del grupo fundamental del espacio cubriente, en el grupo fundamental del espacio base.
Demostrando propiedades de subgrupos - [Detalles]
Se presentan algunas propiedades que cumplen los subgrupos de un grupo: todo grupo es subgrupo de sí mismo, el unitario del neutro es subgrupo, todo subgrupo es un grupo.
Grupos cíclicos - parte 1 - [Detalles]
Se da la definición de grupo cíclico y se exploran algunas de sus propiedades, se demuestra que todos los subgrupos de un grupo cíclico son cíclicos y que hay subgrupos para cada divisor del orden de un grupo cíclico.
Se define el concepto de grupo cociente, se demuestra que es en efecto un grupo y se muestra que la función cociente es un homomorfismo con kernel el subgrupo en cuestión.
Se definen las acciones de grupo y los G-conjuntos, se prueba que las acciones están en correspondencia biyectiva con los homomorfismos del grupo en el grupo simétrico, se muestran ejemplos, se definen las órbitas y los estabilizadores.
Permutaciones y Grupo Simétrico - [Detalles]
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Caminos y homotopías | Grupo fundamental | Topología algebraica - [Detalles]
En este video se comienza a preparar el camino para definir, posteriormente, el grupo fundamental de un espacio topológico.
Cambio de punto base para el grupo fundamental - [Detalles]
En este video estudiamos la (in)dependencia del grupo fundamental respecto del punto base.
El grupo fundamental del círculo - parte 1 - [Detalles]
En este video comenzamos el estudio del grupo fundamental del círculo.
Demostración del teorema fundamental del álgebra usando el grupo fundamental del círculo - [Detalles]
En este video damos una demostración hermosa del teorema fundamental del álgebra usando e hecho de que el grupo fundamental del círculo es cíclico infinito.
El grupo fundamental no detecta células de dimensió mayor que 2 - [Detalles]
En este video demostraremos que el grupo fundamental queda inalterado si adjuntamos o pegamos una célula de dimensión mayor que dos a un espacio.
El teorema de clasificación de cubrientes - parte 1 - [Detalles]
En este video demostramos que dado un subgrupo H del grupo fundamental de X, existe un cubriente tal que su grupo fundamental es isomorfo a H.
El teorema de clasificación de cubrientes - parte 2 - [Detalles]
En este video demostramos que dado un subgrupo H del grupo fundamental de X, existe un único cubriente tal que su grupo fundamental es isomorfo a H.
Transformaciones de cubierta - parte 2 - [Detalles]
En este video demostramos el teorema que relaciona el grupo de transformaciones de cubierta de un cubriente con el grupo fundamental del espacio base.
Homología singular - el 0-ésimo grupo de homología - [Detalles]
En este video veremos que el 0-ésimo grupo de homología singular es la suma de copias de los coeficientes, una por cada componente arco-conexa del espacio.
Homología singular - acciones libres en la esfera - [Detalles]
En este video demostramos el único grupo que puede actuar libremente en una esfera de dimensión par es el grupo cíclico con dos elementos.
Qué es un grupo. Definición explicada - [Detalles]
Se definen los conceptos básicos para dar con la noción de grupo.
Se define el concepto de grupo abeliano y se dan ejemplos y no-ejemplos.
Potencias de un elemento en un grupo - [Detalles]
Se definen las potencias de elementos de un grupo y se explican sus propiedades.
El orden de un grupo - [Detalles]
Se define el orden de un grupo y se dan ejemplos.
Productos de subconjuntos de un grupo - [Detalles]
Se extiende la definición de producto para incluir el producto de dos subconjuntos de un grupo.
Grupo alternante (2) - [Detalles]
Se recuerda la definición de grupo simple y se explica la relación entre este concepto y los grupos alternantes: An es simple para n entre 1 y 5, excepto 4.
Álgebra Moderna I: Definición de Grupos - [Detalles]
Dentro de lo que se abordará como tema principal a continuación, es la definición de grupo y se facilitara la compresión de este nuevo concepto a través de varios ejemplos. Un concepto más es el de Grupo abeliano.
Álgebra Moderna I: Propiedades de grupos y Definición débil de grupo - [Detalles]
En primera instancia se definirán propiedades básicas de grupos como en cualquier otra estructura algebraica. En la cual, es de importancia mencionar la existencia de un neutro, asociatividad e inverso. Por ultimo, la definición débil de grupo.
Álgebra Moderna I: Subgrupos - [Detalles]
La proxima estructura que nos interesa estudiar es la de la subcoleccion H de un grupo G, por tanto necesitamos conocer que necesita H para que sea un grupo en si mismo. Así mismo, hay que estudiar propiedades que heredan estas subcolecciones y las caracterizaciones. Por ultimo siempre es bueno revisar que pasa cuando son finitos.
Álgebra Moderna I: Orden de un elemento y Grupo cíclico - [Detalles]
¿Cualquier subconjunto X de un grupo G es un subgrupo? Esta premisa es abordada principalmente, necesitamos ver condiciones necesarias que pedirle a a X. Requiriendo la definición de orden de un elemento hasta llegar al concepto de subgrupo cíclico.
Álgebra Moderna I: Orden de un grupo - [Detalles]
Es importante definir ahora el orden de un grupo, formalizando algunos conceptos del tema anterior como el del conjunto generado por un elemento a.
Álgebra Moderna I: Relación de equivalencia dada por un subgrupo e índice de H en G - [Detalles]
En esta entrada definiremos una relación de equivalencia en un grupo. Nos referimos al grupo de los enteros con la suma (Z,+) en el cual es posible establecer una relación de equivalencia que induce a una partición con exactamente n conjuntos.
Álgebra Moderna I: Teoremas y Proposiciones relacionadas con subgrupos normales y grupo Alternante. - [Detalles]
Es fácil verificar que toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda y viceversa. En esta entrada, nos centraremos en demostrar formalmente este resultado y otros teoremas mas que sumen a las propiedades de subgrupos normales y el grupo alternante.
Álgebra Moderna I: Grupo Cociente - [Detalles]
La definición de subgrupos normales surgió de la necesidad de extender las propiedades de los enteros a grupos más generales. En los enteros, definimos una relación de equivalencia (módulo n) que nos permite obtener clases de equivalencia. Estas clases no solo generan una partición, sino que también constituyen un subgrupo de Z. La idea central es generalizar este concepto: buscamos definir una operación en ciertas clases de equivalencia para que también formen un grupo.
Álgebra Moderna I: Propiedades de los Homomorfismos - [Detalles]
En esta entrada, nos enfocaremos en proporcionar algunas propiedades adicionales de los homomorfismos. Específicamente, examinaremos cómo los homomorfismos interactúan con las potencias de los elementos del grupo. Posteriormente, exploraremos la relación entre el orden de un elemento en el grupo original y el orden de su imagen bajo un homomorfismo.
Acción del grupo fundamental - [Detalles]
Vemos que el grupo pi_1 actúa en los grupos de homotopía superiores
Permutaciones disjuntas - [Detalles]
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Diapositivas sobre combinatoria - [Detalles]
Motivamos el estudio del cálculo combinatorio, definimos un número factorial y un número combinatorio, demos unos ejemplos en los cuales para ordenar elementos en un conjuntos importando el orden y no importando el orden donde a los primeros los llamamos permutaciones. Para hacer este tipo de cálculos es muy usual que los alumnos confundan las fórmulas y las ocupen de manera errónea, así que para que el alumno se relacione mejor con las fórmulas se hizo una tabla muy fácil de usar acompañada de varios ejemplos.
Permutaciones - un primer ejemplo - [Detalles]
Pequeña motivación del concepto de permutación que definiremos formalmente en el siguiente video.
Permutaciones cíclicas - [Detalles]
Definimos el concepto de permutación cíclica y damos algunos ejemplos ilustrativos.
Permutaciones cíclicas - [Detalles]
Repasamos el concepto de permutación cíclica con ejemplos concretos.
Multiplicatividad del signo. Parte 1 - [Detalles]
Demostramos un par de lemas que serán útiles para, en el próximo video, demostrar que el signo del producto de dos permutaciones es igual al producto de los signos.
Multiplicatividad del signo. Parte 2 - [Detalles]
Demostramos que el signo de una composición de permutaciones es el producto de los signos de los factores.
Grupos simétricos (2) - [Detalles]
Continúa el estudio de la estructura cíclica de permutaciones, se demuestra que los subgrupos normales de Sn son precisamente aquellos que "cerrados" bajo estructura cíclica.
Repasamos qué son los determinantes, definidos en términos de permutaciones. Recordamos algunas de sus propiedades.
Solución al examen 1 - [Detalles]
Solución en vídeo del examen de la unidad de permutaciones.
Definiciónde Grupo - [Detalles]
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Propiedades de Grupos y Definición débil de grupo - [Detalles]
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Orden de un elemento y Grupo cíclico - [Detalles]
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Orden de un grupo - [Detalles]
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COMAL: Topología Algebraica I - [Detalles]
Curso de introducción a la topología algebraica. Comenzamos hablando del grupo fundamental. Luego, estudiamos el teorema de Van Kampen. Continuamos con varios temas de espacios cubrientes. Finalmente hablamos del concepto de homología y varios resultados alrededor de él. Material recopilado en Matemáticas a Distancia con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522.
La homotopía de caminos rel 0,1 es una relación de equivalencia - [Detalles]
En este video se continua preparando el camino para definir el grupo fundamental de un espacio topológico. El objetivo del video es mostrar que la relación de homotopía de caminos rel 0,1 es una relación de equivalencia.
R^2 no es homeomorfo a R^n si n es diferente de 2 - [Detalles]
En este video demostramos que R^2 no es homeomorfo a R^n si n es diferente de 2. Para demostrar esto usamos el cálculo de los grupos fundamentales de las esferas. Este resultado es otro ejemplo de cómo usar nuestros invariantes algebraicos (el grupo fundamental) para resolver problemas en topología.
En este video comenzamos un pequeño detour por la teoría de grupos. Definiremos lo que es un grupo libre y enunciaremos su propiedad universal.
Subgrupos normalmente generados - [Detalles]
En este video terminamos nuestro pequeño detour por la teoría de grupos. Definiremos el subgrupo normalmente generado por un subconjunto de un grupo G.
Presentaciones de grupos - [Detalles]
En este video definimos lo que es una presentación de un grupo y damos algunos ejemplos.
El teorema de clasificación de cubrientes - parte 3 - [Detalles]
En este video demostramos finalmente el teorema de clasificación de cubrientes. Es decir, establecemos una biyección entre el conjunto de subgrupos del grupo fundamental y clases de isomorfismo de cubrientes.
Transformaciones de cubierta - parte 1 - [Detalles]
En este video definimos el grupo de transformaciones de cubierta, damos algunos ejemplos y definimos cubriente normal.
Homología singular - definición de homología singular - [Detalles]
En este video por fin definiremos la homología singular de un grupo X. Estos objetos (grupos abelianos o R-módulos) serán nuestro principal objeto de estudio en lo que resta de esta lista de reproducción.
Homología singular - la homología y las componentes arco-conexas - [Detalles]
En este video veremos cómo calcular el 0-ésimo grupo de homología singular y su relación con las componentes arco-conexas de nuestro espacio.
Homología singular - el teorema del punto fijo de Brouwer - [Detalles]
Como aplicación del cálculo de la homología de una esfera demostraremos el teorema del punto fijo de Brouwer en dimensiones arbitrarias. La estrategia es idéntica a la que ya usamos para demostrar el teorema de Brouwer en dimensión 2 con el grupo fundamental.
Unicidad del elemento neutro y de inversos - [Detalles]
Se demuestra que en un grupo, el elemento neutro es único, y para cada elemento, su inverso también es único.
Grupos - "Casi grupos" - [Detalles]
Se dan ejemplos de conjuntos con operaciones que "casi" son grupos y se explican las propiedades de grupo que fallan.
Grupos - "Grupos y Cubos" - [Detalles]
Se presentan aplicaciones de grupos a "la vida real", concretamente para estudiar el grupo de rotaciones de un cubo.
Subgrupos cíclicos - Definición y ejemplos - [Detalles]
Se define el concepto de grupo cíclico y se muestran ejemplos.
Subgrupo generado por un subconjunto - parte 1 - [Detalles]
Se define el concepto de subgrupo generado por un subconjunto de un grupo partiendo de que la intersección de subgrupos es un subgrupo.
Conjugación y conjugados - [Detalles]
Se define la relación de conjugación entre elementos de un grupo, y también la conjugación entre subgrupos.
Conjugación como relación de equivalencia - [Detalles]
Se explica la relación de conjugación y se demuestran algunas propiedades, se define el centro de un grupo.
Subgrupos conjugados y normalizadores - [Detalles]
Se define la relación de conjugación entre subgrupos de un grupo y se definen los normalizadores.
Grupo alternante (1) - [Detalles]
Se estudian las propiedades de los grupos alternantes, un lema sobre el índice de los centralizadores.
Grupo alternante (3) - [Detalles]
Se demuestra el teorema principal de la sección: An es simple para todo n>=5. Para ello se prueban lemas preliminares.
Algunos teoremas de representaciones - [Detalles]
Se motiva la necesidad de representar a un grupo como subgrupo de otro más conocido y se muestran algunos teoremas de representación incluido el teorema de Cayley.
Teorema de Cauchy - [Detalles]
Se define la noción de p-grupo y se demuestra el Teorema de Cauchy.
Álgebra Moderna I: Asociatividad Generalizada y Leyes de los Exponentes - [Detalles]
Dentro de las operaciones básicas de un grupo, podemos encontrar la asociatividad. La cual es tratada dentro de esta sección, además de algunas de sus consecuencias inmediatas y un teorema generalizando.
Álgebra Moderna I: Paridad de una permutación - [Detalles]
A partir de la entrada anterior, se puede definir el signo de una permutación. Lo cual guía a introducir la función signo y probar que es multiplicativa. Posteriormente se descubre al Grupo alternante.
Álgebra Moderna I: Caracterización de grupos cíclicos - [Detalles]
En los grupos cíclicos, existe un subgrupo único para cada divisor del orden del grupo. Este concepto será el enfoque inicial de esta explicación. Posteriormente, emplearemos un resultado de la teoría de números, utilizando la teoría de grupos para describir los grupos cíclicos de manera más detallada. Esta descripción, junto con sus implicaciones en los campos finitos, se basa en los materiales de los libros de Rotman y también se encuentra en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto, que se mencionan en la bibliografía.
Álgebra Moderna I: Cuarto Teorema de Isomorfía - [Detalles]
A partir de ilustraciones con retículas, en esta entrada se introduce al cuarto teorema de Isomorfía. El cual nos encargaremos de demostrar a lo largo de la sección y ejemplificar trabajando sobre el grupo diédrico.
Álgebra Moderna I: Acciones - [Detalles]
Para esta sección, necesitamos tomar el concepto de acción. Hemos estado usando el verbo actuar para referirnos a esta transformación que sucede al operar un a en G y otro elemento, sea del mismo G o de las clases laterales. La realidad es que ya usar actuar da una idea de lo que estamos queriendo decir. Estamos usando un elemento de un grupo para transformar un elemento de otro.
El teorema de clasificación de transformaciones ortogonales - [Detalles]
En esta entrada buscamos entender mejor el grupo de transformaciones ortogonales. El resultado principal que probaremos nos dirá exactamente cómo son todas las posibles transformaciones ortogonales en un espacio euclideano (que podemos pensar que es $\mathbb{R}^n$). Para llegar a este punto, comenzaremos con algunos resultados auxiliares y luego con un lema que nos ayudará a entender a las transformaciones ortogonales en dimensión 2. Aprovecharemos este lema para probar el resultado para cualquier dimensión.
Los grupos de homotopía sí son grupos - [Detalles]
Probamos que pi_n satisface las propiedades de grupo.
Los grupos de homotopía superiores son abelianos - [Detalles]
Probamos que cuando n es mayor a 1 tenemos que pi_n es un grupo abeliano
Grupos de homotopía relativos - [Detalles]
Si tenemos un espacio X y un subespacio A podemos definir un grupo pi_n(X,A,*)
Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y $p$-grupo - [Detalles]
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