El teorema de clasificación de transformaciones ortogonales - [Detalles]
En esta entrada buscamos entender mejor el grupo de transformaciones ortogonales. El resultado principal que probaremos nos dirá exactamente cómo son todas las posibles transformaciones ortogonales en un espacio euclideano (que podemos pensar que es $\mathbb{R}^n$). Para llegar a este punto, comenzaremos con algunos resultados auxiliares y luego con un lema que nos ayudará a entender a las transformaciones ortogonales en dimensión 2. Aprovecharemos este lema para probar el resultado para cualquier dimensión.
Bases ortogonales y ortonormales - [Detalles]
Definimos conjuntos ortogonales y ortonormales. Definimos también bases ortogonales y ortonormales. Damos propiedades básicas y vemos algunos ejemplos.
Sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Campo vectorial asociado - [Detalles]
Asociamos un campo vectorial a un sistema de ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes, y analizamos su relación con las curvas del plano fase del sistema.
Problemas de bases ortogonales, Fourier y proceso de Gram-Schmidt - [Detalles]
Resolvemos varios problemas de bases ortogonales. Hablamos de proyecciones, la descomposición de Fourier y el proceso de Gram-Schmidt.
Más de puntos armónicos y circunferencias ortogonales - [Detalles]
Definimos el conjugado armónico del punto medio de un segmento, el ángulo de intersección de dos circunferencias y cuándo dos circunferencias son ortogonales y demostramos algunos resultados que involucran estos conceptos
Curvas integrales asociadas a un campo de pendientes - [Detalles]
Definimos las curvas integrales del campo de pendientes asociado a nuestra ecuación diferencial dy/dt=f(t,y).
Curvas integrales y soluciones a una ecuación diferencial de primer orden - [Detalles]
Revisamos la relación existente entre las curvas integrales del campo asociado a la ecuación de primer orden dy/dt=f(t,y) y sus soluciones.
Curvas paramétricas - [Detalles]
Estudio a las curvas paramétricas y su definición
Tangentes a curvas paramétricas - [Detalles]
Estudio de la derivada a las curvas parametricas
Área entre curvas - [Detalles]
Se aborda la teoría de área entre curvas y se dan tres ejemplos.
Diapositivas sobre parametrización de curvas - [Detalles]
Hacemos un estudio sobre la parametrización de curvas y como es posible hacer esta transformación, este tema es acompañado de varios ejemplos.
Cuestionario sobre parametrización de curvas - [Detalles]
Ponemos en práctica la parametrización de curvas, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Mini-cuestionario: Bases ortogonales y ortonormales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las definiciones de bases ortogonales y ortonormales.
32. Trayectorias, curvas y contornos en el plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Empezaremos finalmente con la parte de integración, necesitamos repasar unos preliminares importantes, tales como curvas y trayectorias en el plano complejo.
Aplicaciones de bases ortogonales en espacios euclideanos - [Detalles]
En esta entrada daremos un repaso de bases ortogonales y cómo encontrar estas bases, recordaremos conceptos como la descomposición de Fourier y la desigualdad de Bessel.
Operaciones elementales renglón - [Detalles]
Se definen sistemas de ecuaciones lineales equivalentes, y se da un teorema que demuestra que aplicar operaciones elementales a un sistema, resulta en un sistema equivalente. Finalmente explicamos como al usar operaciones elementales se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales.
La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones - [Detalles]
Explicamos y definimos una matriz de tamaño NxM (arreglos rectangulares de números). Damos la representación matricial de un sistema lineal, la cual es una matriz conformada por los coeficientes del sistema (matriz de coeficientes). Definimos la matriz aumentada y explicamos como usarla para resolver sistemas lineales.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 1) - [Detalles]
Probamos el principio de superposición de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además, demostramos que el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices.
Solución general al sistema lineal no homogéneo. - [Detalles]
Enunciamos y probamos un teorema que nos dice cómo encontrar la solución general a un sistema lineal no homogéneo con la ayuda del sistema homogéneo asociado.
Diapositivas sobre la forma escalonada y el proceso Gauss-Jordan - [Detalles]
Hablamos sobre lo que es una matriz escalonada y se muestra el procedimiento de reducción de Gauss-Jordan y sobre cómo este proceso repercute para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineal y sobre de el mostramos el análisis cualitativo del sistema de ecuaciones si tiene solución o si es incosistente, de esa forma también damos la definición de un sistema homogéneo.
Bases numéricas, Sistema binario y sus potencias - [Detalles]
Sistema binario y sus potencias – Qué es el sistema binario y sus derivados.
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Damos la definición de una ecuación lineal y damos ejemplos de cuales no son ecuaciones lineales. Definimos un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones lineales. Finalmente se da la definición y un ejemplo de solución al sistema de ecuaciones lineales.
La solución de un sistema con matriz en forma escalonada reducida - [Detalles]
Describimos la solución para un sistema con matriz en forma escalonada reducida. Discutimos los diferentes casos donde se tiene o no solución a los sistemas en forma escalonada.
Proceso de reducción de Gauss-Jordan - [Detalles]
Se describe el proceso de reducción de Gauss-Jordan, el cual consiste en usar operaciones elementales para dar la forma escalonada reducida de la matriz aumentada de un sistema lineal y dar la solución al sistema usando su forma escalonada reducida.
Analisis cualitativo de sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Discutimos una serie de observaciones con las cuales podemos describir un sistema lineal sin resolverlo directamente. También se demuestra que un sistema lineal tiene una única solución, infinitas soluciones, o ninguna solución.
Sistemas de residuos módulo $m$ - [Detalles]
Damos la definición de un sistema completo de residuos modulo "m". El cual es un conjunto donde cada elemento sirve como un representante de una clase de equivalencia de la relación de congruencia. También definimos un sistema reducido de residuos modulo "m". Damos la definición de la función de Euler, y vemos un teorema que nos ayuda a conocer el valor de la función de Euler.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 2) - [Detalles]
Definimos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además definimos cuándo este subconjunto de soluciones es linealmente dependiente o independiente. Finalmente demostramos un teorema que relaciona estos dos conceptos.
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Matriz no diagonalizable - [Detalles]
Consideramos el caso cuando la matriz asociada al sistema tiene valores propios repetidos y NO es diagonalizable. Definimos a los vectores propios generalizados de una matriz, desarrollamos un algoritmo mediante el cual encontramos n soluciones linealmente independientes al sistema, y por tanto la solución general.
Las nulclinas y el plano fase - [Detalles]
Definimos las nulclinas de un sistema de ecuaciones de primer orden, y estudiamos los aspectos más importantes que nos ayudarán a esbozar el plano fase de un sistema.
El péndulo con fricción - [Detalles]
Revisamos el sistema de ecuaciones que modela el movimiento de un péndulo con fricción y estudiamos las diferencias que existen con el péndulo simple. Además esbozamos el plano fase del el sistema.
Diapositivas sobre sistemas de ecuaciones lineales, sus soluciones y su matriz de coeficientes - [Detalles]
Comenzamos el tema con la definición de lo que es un sistema de ecuaciones lineal,; hablamos un poco sobre las soluciones de estos sistemas, su geometría e interpretación analítica y cualitativa. Damos un repaso al tema de matrices, recordeando las operaciones elementales, las operaciones renglón y asociamos en una matriz los coeficientes del sistema de ecuaciones lineal.
Aplicaciones del teorema espectral, bases ortogonales y más propiedades de transformaciones lineales - [Detalles]
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Circunferencias ortogonales (parte 1) - [Detalles]
Demostramos que es posible trazar rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior y que es posible trazar una circunferencia ortogonal a otra con un centro dado y que esté fuera de la circunferencia
Circunferencias ortogonales (parte 2) - [Detalles]
Comenzamos a establecer las hipótesis para saber si es posible trazar una circunferencia ortogonal a dos circunferencias dadas
Método de las isoclinas - [Detalles]
Presentamos el método de las isoclinas para encontrar las soluciones de la ecuación dy/dt=f(t,y) mediante las curvas de nivel de la función f.
Área entre curvas - [Detalles]
Enseñanza sobre el cálculo del area delimitada entre dos funciones.
Diapositivas sobre parametrización de cónicas - [Detalles]
Ya teniendo nociones sobre la parametrización de curvas ahora nos interesará parametrizar estas figuras que estamos estudiando, estas parametrizaciones solo son posibles con ayuda de nuestro módulo 2 "trigonometría", con ayuda en estas identidades y razones es posible hacer las parametrización de las cónicas.
32. Trayectorias, curvas y contornos en el plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Empezamos la unidad 4, en esta primera entrada, como preliminares, veremos algunas definiciones tales como la de una función híbrida, trayectoria o curva y algunas más, que mas adelante nos permitirán dar una definición de integral compleja.
Ortogonalidad en espacios euclideanos - [Detalles]
En esta entrada profundizaremos en el concepto de ortogonalidad de parejas de vectores con respecto a un producto interior y veremos como se relaciona con la noción de que una forma lineal y un vector sean ortogonales. Veremos conceptos como el de conjunto ortogonal y proyección ortogonal.
Adjunta de una transformación lineal - [Detalles]
En esta tercera unidad estudiaremos algunos aspectos geométricos de transformaciones lineales. Para ello, lo primero que haremos será introducir la noción de la adjunta de una transformación lineal. Esto nos permitirá más adelante poder hablar de varias transformaciones especiales: normales, simétricas, antisimétricas, ortogonales.
Transformaciones ortogonales, isometrías y sus propiedades - [Detalles]
En la siguiente entrada veremos transformaciones lineales entre espacios euclidianos que preservan las distancias. Estas transformaciones son muy importantes, pues son aquellas transformaciones que además de ser lineales, coinciden con nuestra intuición de movimiento rígido. Veremos que esta condición garantiza que la transformación en cuestión preserva el producto interior de un espacio a otro.
Matrices y transformaciones nilpotentes - [Detalles]
Hemos estudiado varias clases importantes de matrices y transformaciones lineales: diagonales, triangulares superiores, simétricas, ortogonales, normales, etc. Es momento de aprender sobre otro tipo fundamental de matrices y transformaciones lineales: las transformaciones nilpotentes.
Forma escalonada reducida - [Detalles]
Definimos que una matriz esté en forma escalonada reducida. Vemos cómo resolver su sistema lineal asociado. Hablamos de operaciones y matrices elementales.
Reducción gaussiana en sistemas lineales $AX=b$ - [Detalles]
Aplicamos el algoritmo de reducción gaussiana en sistemas lineales de la forma AX=b para llevarlos a un sistema más sencillo y con las mismas soluciones.
Sistemas de $2 imes 2$ y su geometría - [Detalles]
Se da una representación geométrica para las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales de 2x2. También se explica la representación geométrica de las soluciones para un sistema de ecuaciones lineales de 2x2.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 3) - [Detalles]
Escribimos a los sistemas en forma de matrices. Además transformamos una ecuación de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales.
Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Método de eliminación de variables - [Detalles]
Resolvemos el sistema lineal (homogéneo y no homogéneo) de dos ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes en su forma general por el método de eliminación de variables.
La exponencial de una matriz y la matriz fundamental de soluciones - [Detalles]
Relacionamos la exponencial de una matriz A de coeficientes constantes con la matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo que tiene a A como matriz asociada.
Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes - [Detalles]
Encontramos la solución general a un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes en términos de los valores y vectores propios de la matriz asociada A, si esta es diagonalizable.
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios complejos - [Detalles]
Analizamos el caso cuando la matriz asociada al sistema tiene valores propios complejos. Encontramos dos soluciones reales dada una solución compleja formada con un valor y un vector propios complejos.
El oscilador armónico simple - [Detalles]
Mediante un sistema de ecuaciones resolvemos la ecuación del oscilador armónico simple.
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios repetidos y diagonalizable - [Detalles]
Consideramos el caso cuando la matriz asociada al sistema homogéneo con coeficientes constantes es diagonalizable y tiene valores propios repetidos. Además resolvemos un par de ejemplos.
Método de variación de parámetros para sistemas lineales no homogéneos - [Detalles]
Desarrollamos el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular al sistema lineal no homogéneo con coeficientes constantes.
Sistemas de dos ecuaciones de primer orden. El plano fase - [Detalles]
Comenzamos la última unidad del curso estudiando la geometría de las soluciones a un sistema de dos ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes, definiendo el plano fase y analizando un par de ejemplos.
Plano fase para sistemas lineales con valores propios repetidos - [Detalles]
Analizamos el plano fase para sistemas lineales con valores propios repetidos, dependiendo si la matriz asociada al sistema es diagonalizable o no.
El plano traza - determinante - [Detalles]
Clasificamos los planos fase y puntos de equilibrio de sistemas de ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes, según la traza y el determinante de la matriz asociada al sistema.
Sistemas de ecuaciones no lineales. Linealización de puntos de equilibrio - [Detalles]
Comenzamos el estudio cualitativo a los sistemas de dos ecuaciones no lineales. Linealizamos el sistema en sus puntos de equilibrio y estudiamos el comportamiento de las soluciones cerca de estos.
Sistemas de ecuaciones no lineales. Linealización de puntos de equilibrio (Ejemplos) - [Detalles]
Analizamos el plano fase de un par sistemas no lineales, después de linealizar el sistema cerca de los puntos de equilibrio.
Exponencial de una matriz y matriz fundamental de soluciones - [Detalles]
Se define el concepto de exponencial de una matriz y se ve su utilidad en los sistema lineales además de probar que es una matriz fundamental de soluciones a estos sistemas lineales
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios distintos - [Detalles]
Se estudia el primer caso del método de valores y vectores propios correspondiente al caso en el que los valores propios de la matriz del sistema lineal son todos reales y distintos
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios complejos - [Detalles]
Se continua con el segundo caso del método de valores y vectores propios correspondiente al caso en el que los valores propios de la matriz del sistema son complejos
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios repetidos - [Detalles]
Se finaliza el método de valores y vectores propios con el caso en el que los valores propios de la matriz del sistema son algunos repetidos y se presenta el teorema de Cayley-Hamilton
Propiedades cualitativas de las trayectorias - [Detalles]
Se desarrollan las principales propiedades cualitativas de las trayectorias en el plano fase de un sistema de ecuaciones diferenciales
El péndulo simple - [Detalles]
Obtenemos una ecuación de segundo orden que modela el movimiento de un péndulo. Posteriormente estudiamos el sistema de ecuaciones asociado y su plano fase.
Sistemas gradiente - [Detalles]
Estudiamos a los sistemas gradiente y sus principales propiedades. Además encontramos funciones de Lyapunov para puntos de equilibrio que sean mínimos locales estrictos de la función G que define al sistema.
Mapeo de Poincaré - [Detalles]
Hablamos un poco acerca del mapeo de primer retorno de Poincaré y relacionamos las secciones locales en un punto con las órbitas cerradas de un sistema de ecuaciones.
Mini-cuestionario: Forma escalonada reducida - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de que una matriz esté en forma escalonada reducida, y cómo se relaciona con la solución del sistema asociado.
Cuestionario de coordenadas polares - [Detalles]
Ponemos en práctica el tema del sistema de coordenadas polares y como se grafica sobre este nuevo plano, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar
Cuestionario sobre funciones en el plano polar - [Detalles]
Ponemos en práctica el tema del sistema de coordenadas polares, las funciones que se pueden generar en el plano polar y las diferencias de las perspectiva del plano polar al cartesiano, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Sistemas de coordenadas en el espacio. Cartesianas, coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas - [Detalles]
Damos una pequeña presentación de los tres principales sistemas de coordenadas tridimensionales: Cartesianas, esféricas y cilíndricas. Igualmente hablamos sobre las ventajas de cada sistema de coordenadas.
Vemos como trasladar los ejes de nuestro sistema de coordenadas cartesiano en el plano. Damos una relación entre el eje coordenado original y el trasladado. Usando esta relación damos las ecuaciones de las secciones cónica: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola, con el centro trasladado.
Rotación De Ejes Y Figuras - [Detalles]
Vemos como rotar los ejes de nuestro sistema de coordenadas cartesiano en el plano. Damos una relación entre el eje coordenado original y el rotado. Usando esta relación damos las ecuaciones de las secciones cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.
1. Introducción a los números complejos - [Detalles]
En esta entrada de blog se presentan problemas que motivan la necesidad del sistema de números complejos, en particular los problemas de solucionar ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado.
2. El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se presentan formalmente al sistema de números complejos como un campo, introduciendo las operaciones de suma y producto, así como la conjugación.
Sistemas completos de residuos - [Detalles]
En este apartado se abordan los temas de sistemas representantes y sistemas completos de residuos, acompañado de demostraciones de teoremas y proposiciones, así como de definiciones y problemas resueltos. Este tema corresponde a la Unidad 2 "Congruencias", del curso de Teoría de los Números I. Además, se presenta un código implementado en Python para verificar si un conjunto es un sistema completo de residuos con respecto a n, e incluye algunos ejercicios para que el alumno ponga en práctica lo aprendido.