30. Series de potencias y funciones - [Detalles]
Una vez vistas las series de potencias, metámonos a ver como se relacionan con las funciones complejas y que puede pasar si una función está descrita por una serie de potencias.
Potencias de números complejos - [Detalles]
Vemos el teorema de Moivre, el cual nos ayuda a calcular las potencias n-esímas de números complejos, de una forma muy facil (sin embargo, necesitamos la forma polar del complejo). Usamos el teorema de Moivre para calcular como ejemplo la potencia de algunos complejos y vemos como representar en el plano complejo la potencia de un complejo (podemos verlo como una rotación).
Soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]
Comenzamos la revisión de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes variables, y mostramos la existencia de una solución con desarrollo en serie de potencias alrededor de un punto ordinario.
Radio de convergencia de series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]
Calculamos el radio de convergencia para una solución por serie de potencias cerca de un punto ordinario para una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables.
Soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables por series de potencias.
Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos ordinarios - [Detalles]
Se hace un breve repaso de series de potencias para posteriormente desarrollar un método de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables con respecto a puntos ordinarios
Serie de potencias - [Detalles]
Enseñanza a la definición de las series de potencias.
Potencias de un elemento en un grupo - [Detalles]
Se definen las potencias de elementos de un grupo y se explican sus propiedades.
4. Forma polar y potencias en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Recordaremos nociones de la representación en forma polar y repasaremos las nociones y propiedades de las potencias y raíces complejas.
5. Potencias racionales y raíces en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Repasemos un poco acerca de cómo se comportan potencias y raíces en los complejos.
4. Forma polar y potencias en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se introduce la representación polar de un número complejo y cómo se pueden hacer las operaciones entre complejos en esta representación. Se presenta la fórmula de De Moivre para las potencias de números complejos.
21. Logaritmo complejo y potencias complejas - [Detalles]
Veamos unas preguntitas acerca de la definición del logaritmo complejo y un poco de potencias también.
29. Series de potencias. Introducción y criterios de convergencia. - [Detalles]
En esta entrada definimos lo que es una serie de potencias, un tipo muy particular de series, utilizando las dos entradas anteriores veamos que tanto podemos estudiar acerca de ellas.
31. Funciones elementales como series de potencias - [Detalles]
Para terminar con la unidad, regresaremos a analizar funciones elementales tales como la exponencial, seno, coseno complejos pero vistos por medio de sus series de potencias, así podremos ver desde otro punto de vista su analicidad y sus propiedades.
42. Series de Taylor y series de Laurent - [Detalles]
En esta última unidad, empezaremos por ver que toda función analítica puede ser representada por una serie de potencias bajo ciertas condiciones, esto es el teorema de Taylor, además veremos un tipo más de serie de potencias que es crucial para la representación de funciones analíticas.
29. Series de potencias. Introducción y criterios de convergencia. - [Detalles]
Repasemos un poco criterios que nos permiten afirmar si un nuevo tipo de serie, llamado serie de potencias, converge o no.
30. Series de potencias y funciones - [Detalles]
Repasemos unos cuantos aspectos, un poco más técnicos acerca de las series de potencias, tales como diferenciabilidad.
31. Funciones elementales como series de potencias - [Detalles]
Vamos a repasar un par de trucos para los cuales se necesario aplicar las propiedades de series de potencias, de las funciones de las cuales conocemos sus series.
Bases numéricas, Sistema binario y sus potencias - [Detalles]
Sistema binario y sus potencias – Qué es el sistema binario y sus derivados.
Aplicar polinomios a transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
En esta entrada veremos el concepto de «aplicar polinomios a matrices» o equivalentemente «aplicar polinomios a transformaciones lineales». La idea fundamental es simple: las potencias en los polinomios se convierten en repetidas aplicaciones de la transformación y las constantes en múltiplos de la identidad.
Problemas de producto de matrices y matrices invertibles - [Detalles]
En esta entrada de blog hablamos resolvemos problermas de cómo multiplicar matrices. También hacemos algunos problemas sobre matrices invertibles para aprovechar la teoría desarrollada anteriormente.
Transposición de matrices, matrices simétricas y antisimétricas - [Detalles]
Definimos operación de transposición de matrices. Hablamos de matrices simétricas y antisimétricas. Vemos propiedades básicas de estos conceptos.
Mini-cuestionario: Transpuesta de matrices, matrices simétricas y antisimétricas - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las nociones de transposición de matrices, matrices simétricas y antisimétricas
Diapositivas sobre matrices y operaciones - [Detalles]
Mostramos estos arreglos llamados matrices, su notación, las diferentes operaciones que se pueden efectuar con ella como: suma, resta, multiplicación de matrices, producto por un escalar y las hipótesis que se deben cumplir para efectuar estas operaciones. Mostramos unas matrices especiales como los vectores, la matriz identidad y la matriz transpuesta junto con las propiedades de esta última.
Matrices positivas y congruencia de matrices - [Detalles]
En esta entrada veremos como se relacionan las ideas de matrices asociadas a formas bilineales con el producto interior y espacio euclideano, así como sus análogos complejos. Extenderemos nuestras nociones de positivo y positivo definido al mundo de las matrices. Además, veremos que estas nociones son invariantes bajo una relación de equivalencia que surge muy naturalmente de los cambios de matriz para formas bilineales (y sesquilineales).
Transposición de matrices, matrices simétricas y antisimétricas - [Detalles]
Definimos la transposición de matrices. Vemos ejemplos y propiedades. Hablamos de matrices simétricas y antisimétricas.
Mini-cuestionario: Transposición de matrices, matrices simétricas y antisimétricas - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno repase los temas de matrices simétricas, antisimétricas y calcule la matriz transpuesta.
Introducción al curso, vectores y matrices - [Detalles]
Definimos escalares, vectores, matrices en álgebra lineal. Vemos cómo sumar matrices/vectores y multiplicar por escalares. Probamos un resultado de bases.
Problemas de vectores, matrices y matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Problemas resueltos de temas básicos de álgebra lineal. Vemos ejemplos de suma de vectores y matrices. Además, hay ejemplos de transformaciones lineales.
Matrices de bloques - [Detalles]
Definimos el concepto de matrices de bloques. Damos ejemplos y vemos que sus operaciones son compatibles con las de matrices.
Reducción gaussiana para determinar inversas de matrices - [Detalles]
Damos equivalencias útiles de matrices invertibles. Usamos reducción gaussiana para ver si una matriz es invertible y determinar inversas de matrices.
Determinantes de matrices y transformaciones lineales - [Detalles]
Definimos determinantes de matrices y de transformaciones lineales. Vemos ejemplos de ambos y cómo encontrar determinantes de matrices triangulares.
Matrices simétricas reales y sus eigenvalores - [Detalles]
Enunciamos el teorema espectral para matrices simétricas reales. Mostramos que estas matrices tienen eigenvalores reales y otros dos resultados auxiliares.
Teorema espectral para matrices simétricas reales - [Detalles]
Enunciamos y demostramos el teorema espectral para transformaciones y matrices simétricas reales. Lo aplicamos a la clasificación de matrices positivas.
Matrices: que son y notación - [Detalles]
Explicamos la definición de matrices, y sus características, como numero de renglones y columnas. También se discute la notación de matrices.
Operaciones con matrices - [Detalles]
Explicamos la suma de matrices y la multiplicación de una matriz por un escalar. También damos la definición de un vector y el producto punto. Explicamos de manera sencilla la multiplicación de matrices.
Diapositivas sobre matrices - [Detalles]
Definimos lo que es una matriz y definimos el espacio de matrices de "n" renglones por "m" columnas y algunas matrices cuadradas especiales de este espacio.
Matrices: que son y notación - [Detalles]
Explicamos la definición de matrices, y sus características, como numero de renglones y columnas. También se discute la notación de matrices.
Suma y resta de matrices - [Detalles]
Damos la definición y explicación de la suma de matrices (también sobre la resta). Hacemos algunos ejemplos ilustrativos y vemos en qué casos no es posible restar o sumar matrices.
Polinomio característico de familias especiales - [Detalles]
En esta entrada veremos varias propiedades que nos van a facilitar el calcular el polinomio característico (y por tanto los eigenvalores) en un amplio rango de matrices diferentes, principalmente matrices triangulares superiores y matrices nilpotentes.
Matrices similares y su polinomio característico - [Detalles]
En esta entrada exploramos otros aspectos del polinomio característico. Principalmente nos encargamos de comparar los polinomios característicos de matrices similares, así como los de dos productos (recordamos que el producto de matrices no es conmutativo).
Matrices y transformaciones nilpotentes - [Detalles]
Hemos estudiado varias clases importantes de matrices y transformaciones lineales: diagonales, triangulares superiores, simétricas, ortogonales, normales, etc. Es momento de aprender sobre otro tipo fundamental de matrices y transformaciones lineales: las transformaciones nilpotentes.
Sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Repasamos sistemas de ecuaciones lineales, matrices elementales y matrices equivalentes por filas. Los relacionamos con matrices invertibles.
Producto de matrices con matrices - [Detalles]
Definimos el producto de matrices y vemos casos con pocas entradas. Enunciamos algunas propiedades con demostración y vemos ejemplos.
Matrices invertibles - [Detalles]
Damos la definición de matrices invertibles y vemos ejemplos. Probamos algunas propiedades y enunciamos un criterio para matrices de 2x2.
Mini-cuestionario: suma y producto escalar de matrices - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno practique las operaciones básicas de matrices.
Mini-cuestionario: Multiplicación de matrices - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno practique la multiplicación de matrices.
Mini-cuestionario: Matrices Invertibles - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno repase las propiedades de la matriz inversa y calcule matrices inversas.
Mini-cuestionario: Determinante de matrices y propiedades - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno calcule el determinantes de matrices nxn y repase sus propiedades.
Operaciones con el número $i$ - [Detalles]
Definimos la suma de los términos que tienen al número i. Igualmente vemos cómo multiplicar números reales por términos que tengan el número i y por último vemos las potencias del número i.
Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos singulares - [Detalles]
Se describe el método de Frobenius para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables con respecto a puntos singulares
Integrales trigonométricas: Producto de potencias de senos y cosenos - [Detalles]
Enseñanza a la integración donde el integrando contiene productos de funciones senos y cosenos
Integrales trigonométricas: Producto de potencias de tan(x) y sec(x) - [Detalles]
Enseñanza a la integración donde el integrando contiene productos de funciones tan(x) y sec(x).
Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre - [Detalles]
Mostramos la interpretación geométrica de lo que reprenta la multiplicación de dos números complejos en su forma polar; también enunciamos la fórmula de De Moivre para ayudarnos a dar solución a problemas en los que se requiere calcular potencias de números complejos.
Problemas de fórmula de De Moivre y raíces n-ésimas - [Detalles]
Resolvemos problemas que ocupan el teorema de De Moivre para potencias de un número complejo y el cálculo de la raíz de un número complejo.
5. Potencias racionales y raíces en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se presenta cómo calcular raíces n-esimas de números complejos partiendo de la fórmula de De Moivre.
21. Logaritmo complejo y potencias complejas - [Detalles]
Con la motivación de definir una función inversa para la exponencial, analizaremos como podemos hacerlo de una manera que no haya problemas, introduciremos el logaritmo complejo y a la postre podremos dar una definición formal de "elevar un número complejo a otro".
Álgebra Moderna I: Propiedades de los Homomorfismos - [Detalles]
En esta entrada, nos enfocaremos en proporcionar algunas propiedades adicionales de los homomorfismos. Específicamente, examinaremos cómo los homomorfismos interactúan con las potencias de los elementos del grupo. Posteriormente, exploraremos la relación entre el orden de un elemento en el grupo original y el orden de su imagen bajo un homomorfismo.
Monomios y polinomios - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos Matemáticos, exploraremos los monomios y polinomios, piezas clave del álgebra. Abordaremos las leyes de los exponentes, esenciales para simplificar potencias, los productos notables, que son un atajo para agilizar calcular, y también veremos la multiplicación de monomios y polinomios, al igual que sus las operaciones básicas.
Producto de matrices y composición de sus transformaciones - [Detalles]
Definimos al producto de matrices como la matriz asociada a su composición como transformaciones. Probamso la regla del producto y propiedades básicas.
Matrices invertibles - [Detalles]
Damos la definición de matrices invertibles. Probamos propiedades básicas y esbozamos un método inicial para encontrar la inversa de una matriz.
Problemas de sistemas de ecuaciones e inversas de matrices - [Detalles]
Resolvemos cuatro problemas usando el método de reducción gaussiana. Dos de ellos son de resolver sistemas lineales y dos de encontrar inversas de matrices.
Matrices de cambio de base - [Detalles]
Definimos a las matrices de cambio de base. Vemos cómo nos ayudan a expresar un vector como combinación lineal de elementos de distintas bases.
Problemas de rango de transformaciones y matrices - [Detalles]
Resolvemos problemas de rango de matrices y transformaciones lineales usando sus propiedades, el teorema de rango nulidad y la desigualdad de Sylvester.
Eigenvectores y eigenvalores de transformaciones y matrices - [Detalles]
Definimos eigenvectores y eigenvalores de matrices. Vemos que los últimos son raíces de cierto polinomio. Probamos propiedades básicas y vemos ejemplos.
Se define la forma escalonada de una matriz NxM (también se define la forma escalonada reducida), y se dan varios ejemplos de matrices escalonadas, así como ejemplo de matrices que no están en su forma escalonada.
Matriz transpuesta y propiedades de las operaciones matriciales - [Detalles]
Definimos la traspuesta de una matriz y discutimos sus propiedades. También discutimos varias propiedades algebraicas de las operaciones de matrices: Asociatividad, conmutatividad, distributividad y otras propiedades asociadas a las operaciones de matrices con escalares.
Determinantes de matrices $3 imes 3$: dos métodos diferentes - [Detalles]
Describimos dos métodos para calcular el determinante de la matriz de 3x3. El método por cofactores y otro método por la regla de Sarrus (el cual es un método para matrices de 3x3).
Mini-cuestionario: Multiplicación de matrices y composición de sus transformaciones - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo hacer el producto de matrices y cómo esto se relaciona con la composición de sus transformaciones asociadas.
Mini-cuestionario: Matrices invertibles - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de matrices invertibles y sus propiedades
Diapositivas sobre determinantes - [Detalles]
Definimos el determinante de una matriz con esta definición mostramos como se calcula para dimensiones de 3 (regla de Sarrus y cofactores) y para dimensiones mayores a 3, para dimensiones menores es muy fácil realizar el cálculo. Enunciamos las propiedades que cumple el determinante y entre estas proposiciones la condición del determinante para mostrar si una matriz es invertible. Finalmente demostramos una proposición sobre unas matrices especiales que son las triangulares y como estas matrices sin importar su dimensión ni si son triangularrs superiores o inferiores su determinante da una fórmula sencilla que es el producto de las entradas de la diagonal.
Guía de estudio sobre sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes - [Detalles]
Se deja una lista de ejercicios respecto a los temas de matrices y solución a sistemas de ecuaciones lineales. El objetivo de esta lista es que el alumno proporcione ejemplo así como hacer demostraciones para su práctica y así refuerzen su estudio, conocimiento y habilidad en estos temas.
Determinantes de matrices 3x3 Dos métodos Diferentes - [Detalles]
Describimos dos métodos para calcular el determinante de la matriz de 3x3. El método por cofactores y otro método por la regla de Sarrus (el cual es un método para matrices de 3x3).
Mini-cuestionario: Matrices de cambio de base - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo obtener matrices de cambio de base.
Mini-cuestionario: Rango de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de rango para transformaciones lineales y matrices.
Mini-cuestionario: Determinantes de matrices y transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo se definen los determinantes para matrices y para transformaciones lineales.
Mini-cuestionario: Matrices reales simétricas y sus eigenvalores - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo son los eigenvalores de las matrices simétricas reales.
Mini-cuestionario: Teorema espectral para matrices simétricas reales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de lo que dice el teorema espectral para matrices simétricas reales.
En la entrada anterior estudiamos la triangularización de matrices, que consistía en llevar matrices a una forma triangular superior. En esta fortaleceremos esta idea, y buscaremos maneras de llevar una matriz a una matriz diagonal: a este proceso se le conoce como diagonalizar.
Matrices de formas bilineales - [Detalles]
En esta entrada formalizaremos la relación entre formas bilineales y matrices. Veremos cómo se define la matriz asociada a una forma bilineal y cómo podemos traducir operaciones con la forma bilineal en operaciones con su matriz asociada.
Matrices de formas sesquilineales - [Detalles]
En esta entrada daremos una relación entre formas sesquilineales, formas cuadráticas hermitianas y matrices. Daremos la definición y veremos sus propiedades. Gran parte de la relación que había para el caso real se mantiene al pasar a los complejos. Las demostraciones en la mayoría de los casos son análogas, sin embargo, haremos énfasis en las partes que hacen que el caso real y el complejo sean distintos.
Teorema de Sylvester - [Detalles]
En esta entrada introduciremos la noción de la signatura de una matriz. A grandes rasgos, esta noción nos dice «qué tan positiva» es una matriz simétrica. Para definir esta noción, lo haremos primero para las matrices diagonales. Luego lo definiremos para todas las matrices simétricas a través del teorema que demostramos la entrada anterior.
El teorema espectral real - [Detalles]
En esta entrada enunciaremos y demostraremos el teorema espectral en el caso real. Una de las cosas que nos dice es que las matrices simétricas reales son diagonalizables. También nos garantiza que la manera en la que se diagonalizan es a través de una matriz ortogonal. Además, gracias al teorema espectral podremos, posteriormente, demostrar el famoso teorema de descomposición polar que nos dice cómo son todas las matrices.
Existencia de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
Lo que haremos ahora es mostrar una versión análoga de la forma canónica de Jordan para una familia mucho más grande de matrices. De hecho, en cierto sentido tendremos un resultado análogo para todas las matrices. Primero, generalizaremos nuestra noción de bloques de Jordan para contemplar cualquier eigenvalor. Estudiaremos un poco de los bloques de Jordan. Luego, enunciaremos el teorema que esperamos probar. Finalmente, daremos el primer paso hacia su demostración.
Discutimos la importancia que tendrán las matrices en el cálculo de varias variables. Recordamos ciertas operaciones binarias y elementales.
Introducción a vectores y matrices con entradas reales - [Detalles]
Damos una introducción muy sencilla a los vectores y matrices con entradas reales. Hablamos de su noción de igualdad y vemos ejemplos.
Producto de matrices con vectores - [Detalles]
Definimos el producto de matrices con vectores para pocas entradas. Vemos ejemplos y propiedades que cumple.
Traza de matrices y propiedades - [Detalles]
Definimos qué es la traza de matrices. Vemos que la traza abre sumas y saca escalares. Resolvemos dos problemas ejemplo.
Determinante de matrices y propiedades - [Detalles]
Definimos determinantes de matrices de 2x2 y vemos cómo calcularlos recursivamente para tamaños más grandes. Enunciamos algunas propiedades.
Vectores y Matrices (Segunda Parte) - Python - [Detalles]
Práctica en Python relacionada a la Unidad 3 "Espacios Vectoriales". Se incluyen las definiciones y el código para realizar operaciones básicas con matrices, así como el cálculo de su inversa, determinante y su aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones.
Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales. - [Detalles]
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Mini-cuestionario: Determinantes de matrices - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno practique la obtención del determinante de una matriz.
Mini-cuestionario: Reducción Gaussiana - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno emplee la reducción gaussiana a distintas matrices y recuerde las condiciones para aplicarlo.
Mini-cuestionario: Traza de matrices y propiedades - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno repase las propiedades de la traza de una matriz.
Matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Definimos qué es una transformación lineal. Vemos que a cualquier matriz se le puede asociar una transformación lineal, y viceversa.
Problemas de transpuesta de matriz y matrices de bloque - [Detalles]
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Forma escalonada reducida - [Detalles]
Definimos que una matriz esté en forma escalonada reducida. Vemos cómo resolver su sistema lineal asociado. Hablamos de operaciones y matrices elementales.
Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida - [Detalles]
Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales consistentes y equivalentes. Ejemplos de matrices en forma escalonada reducida.
Espacios vectoriales - [Detalles]
Definimos qué son los espacios vectoriales. Damos muchos ejemplos, entre ellos, espacios de matrices, espacios de funciones y espacios de polinomios.
Problemas de combinaciones lineales, generadores e independientes - [Detalles]
Resolvemos problemas de vectores generadores y linealmente independientes. Damos ejemplos con espacios de vectores, matrices, polinomios y funciones.
Cambio de base de transformaciones lineales - [Detalles]
Explicamos cómo un cambio de base de transformaciones lineales afecta la forma matricial de la transformación. Definimos el concepto de matrices similares.
Rango de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
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Bases duales, recetas y una matriz invertible - [Detalles]
Probamos que las formas coordenadas de una base son base del espacio dual. Vemos problemas prácticos de bases duales y una relación con matrices invertibles
Transformaciones multilineales - [Detalles]
Vemos la utilidad de diagonalizar matrices de 2x2 para exponenciarlas. Lo usamos para motivar y definir transformaciones multilineales y determinantes.
Propiedades del polinomio característico - [Detalles]
Retomamos la definición de polinomio característico y vemos sus propiedades principales. Enunciamos dos teoremas fundamentales de matrices que lo usan.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 3) - [Detalles]
Escribimos a los sistemas en forma de matrices. Además transformamos una ecuación de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 1) - [Detalles]
Probamos el principio de superposición de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además, demostramos que el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices.
Mini-cuestionario: Introducción al curso, vectores y matrices - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las operaciones de suma vectorial y producto escalar.
Mini-cuestionario: Matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo una matriz está asociada a una transformación lineal y viceversa.
Mini-cuestionario: Matrices de bloque - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de matriz de bloque y sus propiedades
Mini-cuestionario: Matrices invertibles mediante sistemas de ecuaciones - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo usar el procedimiento de reducción gaussiana para encontrar la inversa de una matriz
Diapositivas sobre sistemas de ecuaciones lineales, sus soluciones y su matriz de coeficientes - [Detalles]
Comenzamos el tema con la definición de lo que es un sistema de ecuaciones lineal,; hablamos un poco sobre las soluciones de estos sistemas, su geometría e interpretación analítica y cualitativa. Damos un repaso al tema de matrices, recordeando las operaciones elementales, las operaciones renglón y asociamos en una matriz los coeficientes del sistema de ecuaciones lineal.
Cuestionario sobre sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales - [Detalles]
Se deja un cuestionario electrónico para que el alumno refuerce sus conocimientos en cuanto a matrices (operaciones y determinantes) y para solucionar sistemas de ecuaciones. Al realizarlo arroja una calificación evaluando su desempeño, así mostrando en que áreas necesitaría volver a repasar y seguir estudiando.
Diapositivas sobre operaciones matriciales - [Detalles]
Continuamos construyendo la definición de una matriz pero ahora definimos sus operaciones básicas somo la suma y multiplicación de dos matrices también su multiplicación por escalar, también hablamos que una matriz de nx1 o también llamado vector columna es un vector con n entradas que se ocupa para hablar de un elemento de Rn.
Cuestionario sobre matrices - [Detalles]
Ponemos en práctica los primeros conocimientos de lo que es una matriz y sobre este nuevo espacio a estudiar, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Proyecto: El sorteo del auto y matrices de transición - [Detalles]
En este proyecto usamos ideas básicas de álgebra lineal para introducir el concepto de procesos estocásticos discretos usando un problema sobre el sorteo de un auto.
Proyecto: Álgebra lineal básica en Python y Jupyter - [Detalles]
En este proyecto llevamos varios de los conceptos teóricos de álgebra lineal a un lenguaje de programación. Vemos cómo usar las bibliotecas SymPy y NumPy de Python para trabajar con matrices.
Mini-cuestionario: Cambios de base de transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo realizar cambios a las matrices que representan una transformación lineal al cambiar de base.
Mini-cuestionario: Eigenvectores y eigenvectores de transformaciones y matrices - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las nociones de eigenvectores y eigenvalores.
Polinomio mínimo de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
En esta entrada definiremos uno de los objetos más importantes del álgebra lineal: el polinomio mínimo. Comenzaremos dando su definición, y mostrando su existencia y unicidad. Luego exploraremos algunas propiedades y veremos ejemplos, seguido de un pequeño teorema de cambio de campos. Finalmente introduciremos un objeto similar (el polinomio mínimo puntual) y haremos unos ejercicios para cerrar
Propiedades de eigenvectores y eigenvalores - [Detalles]
En esta entrada profundizaremos en el estudio de los vectores y valores propios, exploraremos diversas de sus propiedades. Comenzaremos con algunas observaciones inmediatas. Después, veremos cómo encontrar de manera sencilla los eigenvalores de las matrices triangulares superiores. También veremos que «eigenvectores correspondientes a eigenvalores diferentes son linealmente independientes«. Finalmente, conectaremos estas nuevas ideas con un objeto que estudiamos previamente: el polinomio mínimo.
Triangularizar y descomposición de Schur - [Detalles]
En esta entrada estudiaremos el concepto de triangularizar matrices. Esto simplemente quiere decir encontrar una base respecto a la cual podamos escribir a nuestra matriz como una matriz triangular superior. Como veremos, el concepto de triangularización está íntimamente ligado con los ceros de polinomios.
Caracterizaciones de diagonalizar - [Detalles]
En esta entrada enunciaremos y demostraremos un teorema de caracterización de matrices diagonalizables, el cual nos ayudará a entender con más profundidad la diagonalizabilidad.
En esta entrada continuaremos recordando algunas propiedades vistas previamente enfocándonos en el teorema de Gauss y su demostración. Esto nos dará una pequeña pista de la relación entre las formas cuadráticas y matrices. Además, con el teorema de Gauss obtendremos un algoritmo para poder escribir cualquier forma cuadrática en una forma estandarizada. Esto nos llevará más adelante a plantear la ley de inercia de Sylvester.
El teorema espectral y de descomposición polar complejos - [Detalles]
En esta entrada veremos el análogo al teorema espectral real, pero para el caso complejo. En el caso real el resultado es para transformaciones o matrices simétricas. En el caso complejo eso no funcionará. Primero, tenemos que introducir a las transformaciones hermitianas, que serán las que sí tendrán un teorema espectral. Ya eligiendo la noción correcta, las demostraciones se parecen mucho a las del caso real, así que solamente las esbozaremos y en caso de ser necesario haremos aclaraciones pertinentes para la versión compleja.
Existencia de la forma canónica de Jordan para nilpotentes - [Detalles]
Enunciaremos el teorema de la forma canónica de Jordan para matrices nilpotentes. Este es un teorema de existencia y unicidad. En esta entrada demostraremos la parte de la existencia.
Unicidad de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
En esta entrada enunciamos la versión para matrices del teorema de la forma canónica de Jordan (totalmente equivalente a la de transformaciones lineales) y nos enfocamos en mostrar la unicidad de la forma canónica de Jordan.
Operaciones de suma y producto escalar con vectores y matrices - [Detalles]
Definimos las operaciones de suma y producto escalar para vectores y martices. Enunciamos algunas propiedades con ejemplos y demostraciones.
Vectores y Matrices (Primera Parte) - Python - [Detalles]
Práctica en Python relacionada a la Unidad 3 "Espacios vectoriales". Se proporcionan las definiciones y el código de las operaciones básicas de un vector, además de operaciones como el producto punto, producto cruz, la norma, y el triple producto punto.
Álgebra lineal (matrices) - [Detalles]
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Nota 33. Matrices - [Detalles]
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Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta. - [Detalles]
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Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices. - [Detalles]
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Mini-cuestionario: suma y producto escalar de vectores - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno practique las operaciones básicas de vectores.